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座标平面上的旋转变换

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时间:2020-07-08


二阶方阵所对应的旋转变换

将平面上的点 \(P(x,y)\),以坐标轴原点 \(O\) 为旋转中心,逆时针旋转 \(\theta\) 角(当 \(\theta<0\) 时可考虑为顺时针旋转),得到点 \(P\) 经旋转之后的像为 \(P’=(x’,y’)\),这样的变换称为旋转变换。

我们先以极坐标来表示 \(P\) 点坐标:
在坐标平面上,若 \(P\) 点到原点 \(O\) 的距离为 \(r\),以 \(x\) 轴正向为始边,
逆时针旋转到 \(\overrightarrow{OP}\) 的角度为 \(\alpha\),那幺点 \(P(x,y)\) 的极坐标为 \(P[r,\alpha]\),
且 \(x=r\cos \alpha,y=r\sin \alpha\),
并可得点 \(P\) 经逆时针旋转 \(\theta\) 角的像 \(P’=(x’,y’)\) 的极坐标为 \(P'[r,\alpha+\theta]\),
其中 \(x’=r\cos {(\alpha+\theta)},y=r\sin {(\alpha+\theta)}\)。

座标平面上的旋转变换

若我们将点坐标以行矩阵来表示,即
\(\left[ \begin{array}{l} {x’}\\ {y’} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} r\cos (\alpha + \theta )\\ r\sin (\alpha + \theta ) \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{l} r\cos \alpha \cos \theta – r\sin \alpha \sin \theta \\ r\sin \alpha \cos \theta + r\cos \alpha \sin \theta \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{l} \cos \theta \cdot x – \sin \theta \cdot y\\ \sin \theta \cdot x + \cos \theta \cdot y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{rr} \cos \theta& -\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} x\\ y \end{array} \right]\)

其中 \(\left[ \begin{array}{rr} \cos \theta& -\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{array} \right]\) 称为此旋转变换所对应的旋转矩阵,记作 \(R(\theta)\)。

当我们利用二阶方阵表示旋转变换,
那幺接下来就可以用矩阵的运算来表徵这个变换的某些性质。

考虑两个旋转矩阵 \(R(\theta_1)\) 与 \(R(\theta_2)\) 相乘,

\(R({\theta _1})R({\theta _2}) = \left[ \begin{array}{rr} \cos {\theta _1} &- \sin {\theta _1}\\ \sin {\theta _1} &\cos {\theta _1} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rr} \cos {\theta _2}& – \sin {\theta _2}\\ \sin {\theta _2}&\cos {\theta _2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2 & -\cos\theta_1\sin\theta_2- \sin\theta_1\cos\theta_2\\ \sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2&-\sin\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_1\cos \theta_2\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{rr} \cos{(\theta_1+\theta_2)} & -\sin{(\theta_1+\theta_2)}\\ \sin{(\theta_1+\theta_2)}&\cos{(\theta_1+\theta_2)} \end{array} \right]\)

也就是说,两个旋转矩阵相乘的结果,就是「角度」相加。以旋转的角度来考虑,亦即 \(P\) 点先逆时针旋转 \(\theta_2\),再旋转 \(\theta_1\) 的角度,也就是 \(P\) 点共旋转了 \(\theta_1+\theta_2\)的角度。

由此推广,可得 \([R(\theta)]^n=R(n\theta)\)。同时,考虑 \(R(\theta)\) 的反方阵

\(R^{-1}(\theta) = \frac{1}{1} \cdot \left[ \begin{array}{rr} \cos\theta & \sin \theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr} \cos{(-\theta)} & -\sin{(-\theta)}\\ \sin{(-\theta)}&\cos{(-\theta)}\end{array}\right]= R( – \theta )\)

也就是说,当 \(P\) 点逆时针旋转 \(\theta\) 角度之后,在顺时针旋转 \(\theta\) 角度即可回到原来的 \(P\) 点。换句话说,当逆时针旋转 \(\theta\) 角度的旋转矩阵为 \(R(\theta)\),那幺顺时针旋转 \(\theta\) 角度的旋转矩阵即为 \(R(-\theta)\)。

複数相乘的几何意义

对任一複数 \(z=x+yi\),\(x,y\in \Re\),我们可以将其考虑成数对 \((x,y)\) 并画在複数平面上,以点 \(P(x,y)\) 来表示这个複数,那幺就可定义 \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) 为点 \(P\) 到原点的距离,简单说,也就是 \(z\) 这个複数的「长度」;若以实轴(横轴)的正向为始边,逆时针旋转到 \(\overline{OP}\) 的角度为 \(\theta\),改以极坐标来表示为 \(P[r,\alpha]\),其中 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。

因此,可将複数 \(z\) 表示成极式 \(z=r(\cos\theta,i\sin\theta)\),其中 \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\),\(\theta\) 称为 \(z\) 的幅角 (argument)。

当複数以极式来表示的时候,藉由此,我们就可从几何的角度来探讨複数乘除运算的几何意义。

假设两个複数 \(z_1,z_2\),\(z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin\theta_1),z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin\theta_2)\) ,
则它们的乘积可计算为
\(\begin{array}{ll}z_1\cdot z_2 &=r_1(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}) \cdot {r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}) \\&= {r_1}{r_2}[(\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} – \sin {\theta _1}\sin {\theta _2}{\rm{) + }}i(\cos {\theta _1}\sin {\theta _2} + \sin {\theta _1}\cos {\theta _2})] \\&= {r_1}{r_2}[\cos ({\theta _1}{\rm{ + }}{\theta _{\rm{2}}}{\rm{) + }}i\sin ({\theta _1}{\rm{ + }}{\theta _{\rm{2}}}{\rm{)]}}\end{array}\)

这两个複数的极式相乘告诉我们,当两个複数相乘时,其「长度」相乘,「角度」相加。

换个角度说明,当 \(z_1\) 这个複数乘以另一个複数 \(z_2\),可以考虑成 \(z_1\) 所代表的点 \(P\),将它到原点的距离 \(r_1\),作伸缩变换变成 \(r_1r_2\);将它与横轴正向所成的有向角 \(\theta_1\),绕原点逆时针旋转了 \(\theta_2\) 的角度,如下图所示:

座标平面上的旋转变换

若单纯只考虑一个複数 \(z\),将它乘以 \(\cos\theta+i\sin\theta\),几何呈现上的意义即是将此複数以原点为旋转中心,逆时针旋转 \(\theta\) 角度(当 \(\theta<0\) 时为顺时针旋转)。但是这样的旋转与以二阶方阵所表徵的旋转变换是否相同呢?

设此複数 \(z=x+yi\),在複数平面上以点 \(P(x,y)\) 表示此複数,经绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 角度之后,所得到新的点为 \(P’=(x’,y’)\),由旋转变换可知

\(\left[ \begin{array}{l} {x’}\\ {y’} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \cos \theta&-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos \theta \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} x\\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} x\cos \theta – y\sin \theta \\ x\sin \theta + y\cos \theta \end{array} \right]\)

亦即 \(x’=x\cos \theta-y\sin \theta,y’=x\sin \theta+y\cos\theta\),因此

\(\begin{array}{ll} z’ &= (x\cos\theta-y\sin\theta)+i(x\sin\theta+y\cos\theta)\\ &=x(\cos\theta+i\sin\theta)+yi\cdot(\cos \theta+i\sin\theta)\\&= (x +yi)\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=z\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)\end{array}\)

由此可知,当我们将平面上的点考虑成複数时,依複数极式乘法运算所处理的旋转变换,与二阶方阵所代表的旋转变换是一致的。对平面上的旋转变换而言,我们常依点所表徵的意义不同,而选择不同的呈现方式来处理几何上的旋转变换,不过表面上不同,里子却是一样的。而有时候通过複数的极式来作运算,反而可以让运算变得更加的简洁易懂。

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